Was ist die beste Strategie, um in den Wirtshäusern beim Würfelspiel zu gewinnen? Und was ist die beste Einstellung für die Wahrscheinlichkeiten im Wirtshaus?
Wenn ich es richtig verstanden habe, funktioniert Würfeln im Wirtshaus so:
1. Der Spieler gibt einen Einsatz vor und wählt frei einen der vier Würfel A-D.
2. Der Wirt wählt zufällig (nach den vom Wirtshausbesitzer eingestellten Wahrscheinlichkeiten) einen der drei verbleibenden Würfel.
3. Es wird gewürfelt; wer die höhere Zahl hat, bekommt beide Einsätze.
4. Maximal sind 31 Spiele möglich (für diesen Spieler an diesem Tag in diesem Wirtshaus).
Die Würfel sind nicht gleich; der durchschnittliche Gewinn pro Einsatz ist für
- A gegen B: -1/3 (und entsprechend B gegen A: +1/3)
- A gegen C: -1/9
- A gegen D: +1/3
- B gegen C: -1/3
- B gegen D: 0
- C gegen D: -1/3
Kein Würfel schlägt also im Mittel jeden der drei anderen Würfel, oder anders: Zu jedem Würfel gibt es einen "Gegenwürfel", der diesen im Mittel schlägt. Der Wirt ist also gut beraten, nicht stets den gleichen Würfel zu nehmen. Der Spieler hingegen sollte versuchen herauszufinden, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Wirt welchen Würfel wählt, um mit der obigen Tabelle den passenden Gegenwürfel finden zu können.
Es gibt natürlich einige Wirt-Einstellungen (also Einstellungen für die Wahrscheinlichkeiten der Würfelwahl), die nicht zu schlagen sind. Einfaches Beispiel: A 0%, B 50%, C 0%, D 50%; dann sieht ein Spiel so aus:
Spieler wählt Würfel A: Wirt wählt gleich oft B (1/3 Verlust) wie D (1/3 Gewinn), also im Durchschnitt 0
Spieler wählt Würfel B: Wirt wählt D (B geht ja nicht), Gewinn/Verlust 0
Spieler wählt Würfel C: Wirt wählt gleich oft B (1/3 Gewinn) wie D (1/3 Verlust), also im Durchschnitt 0
Spieler wählt Würfel D: Wirt wählt B (D geht nicht), Gewinn/Verlust 0
(Eine andere Möglichkeit, die keinen Würfel ganz ausschließt, ist 20% / 27% / 20% / 33% oder exakt 3/4/3/5. Interessanterweise ist 4 x 25% keine dieser unschlagbaren Strategien.)
Mit einer solchen Einstellung macht der Wirt unabhängig vom Spielerverhalten weder Gewinn noch Verlust. Nehmen wir mal an, der Wirtshausbesitzer hat keine so langweilige Einstellung gewählt. Dann gibt es immer einen Würfel, mit dem der Spieler im Durchschnitt gewinnt. Aber wie findet man den?
Der Spieler könnte dazu die Würfelwahlen des Wirts beobachten und daraus auf die gewählte Wirt-Einstellung schließen. Dabei stört es aber natürlich ganz gewaltig, dass nur 31 Spiele möglich sind.
Einfachste Möglichkeit: Der Spieler schätzt die eingestellte Wahrscheinlichkeit für einen Würfel ab durch die Häufigkeit, mit der er gewählt wurde, und wählt mithilfe dieser Einschätzung den "Gegenwürfel". Beim ersten Mal nimmt er Würfel C. Das ergibt nach 31 Spielen durchschnittlich (wenn ich mich nicht vertan habe)
- bei einer Wirtseinstellung von 4 x 25% einen Gewinn von 16% eines Einzeleinsatzes (maximal möglich bei diesem Wirt: 115%)
- bei einer Wirtseinstellung von 30%/20%/30%/20%: Gewinn von 26% (maximal möglich 148%)
- bei einer Wirtseinstellung von 10%/10%/70%/10%: Gewinn von 360% (maximal möglich 689%)
Nicht schlecht, geht aber besser. Der Wirt kann den Würfel des Spielers nicht wählen, deshalb schätzen wir die Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Würfel jetzt ab durch die Häufigkeit, mit der er gewählt wurde, bezogen auf die Zahl der Spiele, in denen er überhaupt gewählt werden konnte. Danach werden die so erratenen Wahrscheinlichkeiten noch so vergrößert oder verkleinert, dass sie zusammen wieder 100% ergeben. Diese Strategie ergibt nach 31 Spielen
- bei einer Wirtseinstellung von 4 x 25%: Gewinn von 28% (maximal möglich 115%)
- bei einer Wirtseinstellung von 30%/20%/30%/20%: Gewinn von 45% (maximal möglich 148%)
- bei einer Wirtseinstellung von 10%/10%/70%/10%: Gewinn von 521% (maximal möglich 689%)
Wem fällt eine bessere Spielerstrategie ein? (Um das Spiel berechenbar zu machen, sollte diese Strategie nur folgende Informationen verwenden: Wie oft hat der Wirt bisher welchen Würfel gewählt, und wie oft hat der Spieler selbst welchen Würfel gewählt (sodass der Wirt ihn nicht mehr wählen konnte)?)
Findet jemand eine Wirtshauseinstellung, die diese Strategie schlägt, also einen negativen durchschnittlichen Gewinn ergibt?